Не успел сходить на прогулку, уже и отчество определилось.

Сконцентрировавшись на Михаиле, до батюшки его добраться не успел, хотя инициалы эти (А.И.) встречались в поиске.
К опубликованному Игорем могу добавить, что встречается упоминание о Михаиле Алексеевиче, как о Попечителе Вологодской Городской Больницы и действительном члене "Общества попечения о раненых и больных воинах" (скрины прилагаются, ниже их содержание).
Сенатские ведомости от 14 июля 1867 года (№ 56):
"По указу ЕГО ИМПЕРАТОРСКОГО ВЕЛИЧЕСТВА, Правительствующий Сенат слушали представления Начальств о производств в чины и об утверждении в оных. Приказали: Обнародовать, чрез припечатание указа в Сенатских Ведомостях, для сведения и должного, до кого касаться, будет, исполнения, что Правительствующим Сенатом:
a) произведены, за выслугу лет, со старшинством:
В Коллежские Ассесоры - Попечитель Вологодской Городской Больницы, Вологодский Уездный Предводитель Дворянства, Титулярный Советник Михаил Дружинин, с 27 апреля 1860 года". (Источник - фонды РНБ)
Русский инвалид от 30 июля 1868 года (№ 206):
"В пользу покровительствуемого Государынею Императрицею "Общества попечения о раненых и больных воинах" поступили денежные пожертвования от нижеследующих лиц, по званию действительных членов Общества: …
вологодского губернского предводителя дворянства титулярного советника М.А. Дружинина З р., …". (Источник - фонды РНБ)
Из этих источников узнаём, что М.А. Дружинин успел побывать Вологодским Уездным Предводителем Дворянства до того, как стал Губернским.
Здесь же обнаруживается интересный казус. Михаил Дружинин, с 27 апреля 1860 года произведён в коллежские ассесоры. Но в 1868 году он снова упоминается, как титулярный советник. Провинился чем-то, или по другой какой-то причине, мне неизвестно.